认识对称轴

一．概念描述

现代数学： 一般地，若两个图形上的点全都关于同一条直线对称，则称这两个图形关于这条直线对称。这种关于直线的对称称为轴对称，这条直线称为互相对称的图形的对称轴。

2008年人教版教材八年级上册第29页更为细致地定义了对称轴：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作对称图形，这条直线就是它的对称轴。把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴。

也就是说，轴对称图形和成轴对称的两个图形都有对称轴。如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就是关于这条直线对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。

小学数学：小学数学教材中一般不出现对称轴的确切定义。而是通过生活实际引导学生初步认识对称图形，引出“对称”概念，然后让学生动手操作剪出对称图形，理解纸的折痕就是对称轴。（如下图）

小学阶段对于轴对称图形的学习并不是一蹴而就的，需要经过两个阶段。在第一学段中，主要是结合实例，感受轴对称现象，初步认识轴对称图形。在第二学段中，主要是进一步认识轴对称图形及其对称轴，通过探索轴对称图形和成轴对称的两个图形的各对应点与对称轴之间的关系，引导学生发现轴对称图形的基本性质。并能根据这一性质在方格纸上画出轴对称图形的对称轴，能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形。

二．概念解读

无论是轴对称图形还是成轴对称的两个图形，它们的对称轴都有着相同的性质，都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。在小学阶段，关于对称轴应该认识以下几点。

①对称轴是一条直线，而不是线段或射线。

②找到对称轴是确定轴对称的关键。因为轴对称的基本特征是，“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”所以很显然，确定轴对称变换的关键在于找到对称轴。

③对应点到对称轴的距离相等。对称轴垂直且平分连结两对称点的线段，学生在方格纸上可以通过看一看、数一数的活动，发现对应点与对称轴之间的这种关系。

④对称轴不一定只有一条，还可以是两条、三条或无数条。如长方形有两条对称轴，正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴。

三．教学建议

(1)在动手操作中认识对称轴

学生在学习轴对称图形之前并不是一张白纸，他们在生活中有着丰富的折纸和剪纸的经验。教师应充分利用学生的经验，为学生提供折一折、剪一剪的实践活动，让学生自己创造出数学中的轴对称图形。对于那些剪出轴对称图形的学生，可以请他们谈谈自己的经验；对于那些没有剪出来的学生，可以帮助他们分析一下失败的原因，从而使学生认识到对折的重要性。只有对折之后再剪，才能保证两边完全重合，加深学生对于轴对称图形的认识。然后，教师可以通过对折之后的折痕帮助学生认识对称轴，并探究几种常见图形的对称轴各有几条。

(2)利用对称轴，澄清学生的错误认识

学生对于“完全相等”和“完全重合”在理解上存在着误区，如长方形沿对角线对折后的两个三角形，无论是形状还是大小都完全一样。但由于对折后二者不互相重合，因此就不能将这对角线叫作长方形的对称轴。也就是说在判断某线是否是该图形的对称轴时，只能用“完全重合”而不可用“完全相等”。

张齐华老师在教学“轴对称图形”一课时，学生对于平行四边形是不是轴对称图形产生了分歧。有的学生认为虽然对折后两边的图形大小、形状都一样，但并没有完全重合，所以认为平行四边形不是轴对称图形。而有的学生认为虽然对折后两边没有完全重合，但只要沿着折痕剪开，换一个方向后两边就能完全重合了，所以它是一个轴对称图形。张老师紧紧抓住了这个生成资源，引导学生展开辩论，使学生领悟到只有沿着对称轴对折后两边完全重合，才算是轴对称图形，从而澄清了学生的错误认识。

思。推荐阅读

(1)《走向“生成型”的数学课堂---轴对称图形教学片段》（张齐华，《小学青年教师（教学版）》，2006年第1期）

在这一教学片段中，张老师不仅为学生创设了自由宽松的学习氛围，并且对教学中的生成资源处理得恰到好处，使学生对轴对称图形的认识逐渐走向深刻。

(2)《图形与变换的备课与教学》（曹培英，《人民教育》，2006年第13 -14期）

该文从数学本身和数学教育的历史视角讨论了引入图形与变换的必要性，对小学阶段图形与变换内容中涉及的平移、旋转、轴对称作了详尽的解读，并针对图形与变换教学中的问题给出了具体的教学策略的指导。

中考数学几何重点题型分析：正方形相关问题

说到正方形，大家应该都很熟悉，这是一种我们从小学就开始接触的图形，非常的对称和完美。

小学期间因知识有限，并没有对正方形进行深入学习，进入初中之后，教材对正方形相关知识内容进行拓展和深化，成为初中几何学习重要内容之一，也是中考数学几何重点考查对象之一。

什么是正方形？

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

从正方形的概念，我们可以看出它本质上是平行四边形，是一种特殊的平行四边形，更是一种特殊的矩形和菱形。因此，正方形不仅具有平行四边形所有性质，更加具有自己的特殊性质。

纵观近几年以正方形为载体的中考数学试题，一般都是以基础知识、基本技能、基本数学思想和基本数学活动经验为依托，主要考查考生运用基础知识分析、解决问题的能力。

中考数学，正方形，典型例题分析1：

如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是　 　．

作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，

连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，

∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，

∴AA′=6，AE′=4．

∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，

∴DQ是△AA′E′的中位线，

∴DQ=AE′/2=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，

∵BP∥AA′，

∴△BE′P∽△AE′A′，BP/6=1/4

∴BP/AA’=BE’/AE’，即BP/6=1/4，BP=3/2，CP=BC﹣BP=3﹣3/2=3/2，

S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP

=9﹣AD•DQ/2﹣CQ•CP/2﹣BE•BP/2

=9﹣(3×2)/2﹣1×3/2×1/2﹣×1×3/2×1/2=9/2，

故答案为：9/2．

考点分析：

轴对称-最短路线问题；正方形的性质；计算题．

题干分析：

根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积。

解题反思：

本题考查了轴对称，利用轴对称确定A′、E′，连接A′E′得出P、Q的位置是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要方法。

中考数学，正方形，典型例题分析2：

如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠GAD=∠ADO=45°，

由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO/2=22.5°，

故①正确．

∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，

∴AE=EF＜BE，

∴AE＜AB/2，

∴＞2，

故②错误．

∵∠AOB=90°，

∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，

∴S△AGD＞S△OGD，

故③错误．

∵∠EFD=∠AOF=90°，

∴EF∥AC，

∴∠FEG=∠AGE，

∵∠AGE=∠FGE，

∴∠FEG=∠FGE，

∴EF=GF，

∵AE=EF，

∴AE=GF，

故④正确．

∵AE=EF=GF，AG=GF，

∴AE=EF=GF=AG，

∴四边形AEFG是菱形，

∴∠OGF=∠OAB=45°，

考点分析：

四边形综合题．

题干分析：

①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数；

②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE；

③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；

④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；

⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；

⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF时等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．

解题反思：

此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用。

认真掌握以下这些正方形的性质：

1、具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；

2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等；

3、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；

4、正方形是轴对称图形，有4条对称轴；

5、正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；

6、正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

中考数学，正方形，典型例题分析3：

如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．

（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；

（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；

（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

解：（1）当点P在线段AO上时，

PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE=PD，PE⊥PD；

（2）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，

∵PA=PA，

∴△BAP≌△DAP（SAS），

∴PB=PD，

又∵PB=PE，

∴PE=PD．

（i）当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，

∵PB=PE，

∴∠PBE=∠PEB，

∴∠PEB=∠PDC，

而∠PEB+∠PEC=180°，

∴∠PDC+∠PEC=180°，

∴∠DPE=360°﹣（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，

∴PE⊥PD．

（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．

（iii）当点E在BC的延长线上时，如图．

∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，

∴∠DPE=∠DCE=90°，

∴PE⊥PD．

综合（i）（ii）（iii），PE⊥PD；

考点分析：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。

题干分析：

（1）根据点P在线段AO上时，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD，PE=PD；

（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由PB=PE，得出PE=PD，要证PE⊥PD；从三方面分析，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，当点E在BC的延长线上时，分别分析即可得出；

（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案．

解题反思：

此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和尺规作图等知识，此题涉及到分类讨论思想，这是数学中常用思想同学们应有意识的应用。

如何判定一个四边形是不是正方形？掌握好这些正方形判定定理：

1、判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

2、判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：

先证明它是平行四边形；

再证明它是菱形（或矩形）；

最后证明它是矩形（或菱形）。

中考数学，正方形，典型例题分析4：

在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．

（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；

（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．

（3）因为点P在∠AOB的平分线上，所以h＞0．

考点分析：

正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形；几何动点问题；几何综合题。

题干分析：

（1）当∠BAO=45°时，因为四边形ABCD是正方形，P是AC，BD对角线的交点，能证明OAPB是正方形，从而求出P点的坐标．

（2）过P点做x轴和y轴的垂线，可通过三角形全等，证明是角平分线．

（3）因为点P在∠AOB的平分线上，所以h＞0．

解题反思：

本题考查里正方形的性质，四边相等，四角相等，对角线互相垂直平分，且平分每一组对角，以及坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点。

巧记对称轴口诀，实用且好记，5分钟牢记，终身不忘！

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在教学实践中经常碰到对称轴的问题，不是很难，但是很多孩子经常会出错，原因是比较零散，没有系统去收集整理，所以出错的几率非常大，为此，我收集整理了一下，小学阶段可能碰到的常见图形对称轴，口诀比较难编，花费了很久时间才编了出来，感觉相对而言比较顺口，试下你就知道了，有兴趣的家长和孩子们可以收藏，口诀如下：

巧记对称轴口诀：

平行四边形，

对称轴数0.

半圆等腰三角形，

等腰梯形都只1.

长方形2圆无数，

正多边形是边数。

这里把口诀解释一下：

平行四边形，对称轴数0，是说平行四边形没有对称轴，它只是中心对称图形，可能有朋友要说了：长方形，正方形，菱形不都是平行四边形的一种吗？不错，你说的对，但在小学阶段碰到的平行四边形一般指的是普通平行四边形，不是这些特殊的图形。

半圆等腰三角形，等腰梯形都只1：这句话想必聪明的你已经知道了，半圆，等腰三角形，等腰梯形的对称轴都只有一条。

长方形2圆无数：是说长方形有两条对称轴，而圆有无数条对称轴。

正多边形是边数：这里重点解释一下，正多边形包含正三角形，正四边形，正五边形等等，它们的对称轴数是边数是几条，对称轴就有几条，需要记住的是，正三角形其实就是等边三角形，正四边形其实就是正方形，不少孩子不知道，这里就特别说明一下！

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认识对称轴

一．概念描述

现代数学： 一般地，若两个图形上的点全都关于同一条直线对称，则称这两个图形关于这条直线对称。这种关于直线的对称称为轴对称，这条直线称为互相对称的图形的对称轴。

2008年人教版教材八年级上册第29页更为细致地定义了对称轴：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作对称图形，这条直线就是它的对称轴。把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴。

也就是说，轴对称图形和成轴对称的两个图形都有对称轴。如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就是关于这条直线对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。

小学数学：小学数学教材中一般不出现对称轴的确切定义。而是通过生活实际引导学生初步认识对称图形，引出“对称”概念，然后让学生动手操作剪出对称图形，理解纸的折痕就是对称轴。（如下图）

小学阶段对于轴对称图形的学习并不是一蹴而就的，需要经过两个阶段。在第一学段中，主要是结合实例，感受轴对称现象，初步认识轴对称图形。在第二学段中，主要是进一步认识轴对称图形及其对称轴，通过探索轴对称图形和成轴对称的两个图形的各对应点与对称轴之间的关系，引导学生发现轴对称图形的基本性质。并能根据这一性质在方格纸上画出轴对称图形的对称轴，能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形。

二．概念解读

无论是轴对称图形还是成轴对称的两个图形，它们的对称轴都有着相同的性质，都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。在小学阶段，关于对称轴应该认识以下几点。

①对称轴是一条直线，而不是线段或射线。

②找到对称轴是确定轴对称的关键。因为轴对称的基本特征是，“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”所以很显然，确定轴对称变换的关键在于找到对称轴。

③对应点到对称轴的距离相等。对称轴垂直且平分连结两对称点的线段，学生在方格纸上可以通过看一看、数一数的活动，发现对应点与对称轴之间的这种关系。

④对称轴不一定只有一条，还可以是两条、三条或无数条。如长方形有两条对称轴，正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴。

三．教学建议

(1)在动手操作中认识对称轴

学生在学习轴对称图形之前并不是一张白纸，他们在生活中有着丰富的折纸和剪纸的经验。教师应充分利用学生的经验，为学生提供折一折、剪一剪的实践活动，让学生自己创造出数学中的轴对称图形。对于那些剪出轴对称图形的学生，可以请他们谈谈自己的经验；对于那些没有剪出来的学生，可以帮助他们分析一下失败的原因，从而使学生认识到对折的重要性。只有对折之后再剪，才能保证两边完全重合，加深学生对于轴对称图形的认识。然后，教师可以通过对折之后的折痕帮助学生认识对称轴，并探究几种常见图形的对称轴各有几条。

(2)利用对称轴，澄清学生的错误认识

学生对于“完全相等”和“完全重合”在理解上存在着误区，如长方形沿对角线对折后的两个三角形，无论是形状还是大小都完全一样。但由于对折后二者不互相重合，因此就不能将这对角线叫作长方形的对称轴。也就是说在判断某线是否是该图形的对称轴时，只能用“完全重合”而不可用“完全相等”。

张齐华老师在教学“轴对称图形”一课时，学生对于平行四边形是不是轴对称图形产生了分歧。有的学生认为虽然对折后两边的图形大小、形状都一样，但并没有完全重合，所以认为平行四边形不是轴对称图形。而有的学生认为虽然对折后两边没有完全重合，但只要沿着折痕剪开，换一个方向后两边就能完全重合了，所以它是一个轴对称图形。张老师紧紧抓住了这个生成资源，引导学生展开辩论，使学生领悟到只有沿着对称轴对折后两边完全重合，才算是轴对称图形，从而澄清了学生的错误认识。

思。推荐阅读

(1)《走向“生成型”的数学课堂---轴对称图形教学片段》（张齐华，《小学青年教师（教学版）》，2006年第1期）

在这一教学片段中，张老师不仅为学生创设了自由宽松的学习氛围，并且对教学中的生成资源处理得恰到好处，使学生对轴对称图形的认识逐渐走向深刻。

(2)《图形与变换的备课与教学》（曹培英，《人民教育》，2006年第13 -14期）

该文从数学本身和数学教育的历史视角讨论了引入图形与变换的必要性，对小学阶段图形与变换内容中涉及的平移、旋转、轴对称作了详尽的解读，并针对图形与变换教学中的问题给出了具体的教学策略的指导。