浅谈学习高数的导数有关内容

导数是高等数学里的一个非常重要知识，通过导数的几何意义可以去求函数的切线或者法线方程，通过导数开可以求出函数的极限，也可以通过导数去判断函数的单调性，以及通过导数延伸出来的微积分可以去求函数的面积、体积及长度的内容，所以掌握导数和求函数的导数就是高等数学的重要且是基本的知识了。

· 基本函数的导数：

所谓基本函数，也就是通常所说的初等函数，例如常数函数y=c，一次函数y=kx+b，二次函数y=ax^2+bx+c,幂函数y=x^a,指数函数y=a^x,对数函数y=loga x，自然对数函数y=lnx，三角函数，反三角函数等，这些函数的导数是需要记住的。具体公式如下：

y=c y'=0 y=x^n y'=nx^(n-1) y=a^x y'=a^xlna

y=e^x y'=e^x y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x

y=sinx y'=cosx y=cosx y'=-sinx y=tanx y'=1/cos^2x

y=cotx y'=-1/sin^2x y=arcsinx y'=1/√1-x^2 y=arccosx y'=-1/√1-x^2

y=arctanx y'=1/1+x^2 y=arccotx y'=-1/1+x^2

· 导数的运算法则：

导数的运算法则，就是指导数的加、减、乘、除的四则运算法则，这也是需要掌握的重要内容，公式如下：

①（u±v)=u'v±vu'

②uv=u'v+uv'

③u/v=(u'v-uv')/v^2

这里边的u.v一般是代表的两个不同的函数，不会同时为常数。这三个运算法则中，特别要记住的是两个函数商的导数求法，分子中出现的是减号，这个地方容易出错。对于上面提到的二次函数，符合函数和差的运算法则，所以y'=(ax^2)'+(bx)'+c'=2ax+b+0=2ax+b.

· 初等函数四则运算的求导：

初等函数的四则运算，就是上述提到基本函数，其求导，通常要用到上述求导的运算法则，它可以单独使用其中的一个运算法则，也可以是多个运算法则同时使用，下面举几个例子。

（1）y=sinx+5x-cosx,这个是函数的和差运算，求导法则仅使用①，所以：

y'=(sinx)'+(5x)'-(cosx)'=cosx+5-(-sinx)=cosx+sinx+5.

(2)y=(5sinx)*(3cosx),这个是函数的乘积运算，求导法则仅使用②，所以：

y'=(5sinx)'(3cosx)+(5sinx)(3cosx)'

=(5cosx)(3cosx)+(5sinx)(-3sinx)

=15(cos^2x-sin^2x)

=15cos2x.

(3)y=sinx/cosx,这个是函数的商的运算，求导法则仅使用③，所以：

y'=[（sinx)'cosx-(sinx)(cosx)']/(cosx)^2

=[cosxcosx-(sinx)(-sinx)]/(cosx)^2

=1/(cosx)^2

=sec^2x,实际上y=sinx/cosx=tanx，其导数是通过这个法则求出来的。

（4）y=（sinx-5x+x^2cosx)/x,这个函数的求导，上述三个运算法则都要使用到，所以：

y'=[(sinx-5x+x^2cosx)'x-(sinx-5x+x^2cosx)x']/x^2

={[(sinx)'-(5x)'+(x^2cosx)']x-(sinx-5x+x^2cosx)}/x^2

={[cosx-5+(x^2)'cosx+(x^2)(cosx)']x-sinx+5x-x^2cosx}/x^2

={[cosx-5+2xcosx-x^2sinx]x-sinx+5x-x^2cosx}/x^2

=(xcosx-5x+2x^2cosx-x^3sinx-sinx+5x-x^2cosx)/x^2

=(xcosx+x^2cosx-x^3sinx-sinx)/x^2.

· 复合函数的求导法则：

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)即y=f（g（x））的导数间的关系为

y' =f'（g（x））*g'（x）即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.举例如下：

（1）y=(2x+1)^5,

y'=5(2x+1)^4*(2x+1)'=5(2x+1)^4*2=10(2x+1)^4.

(2) y=sin(x^2+2x).

y'=cos(x^2+2x)*(x^2+2x)'=cos(x^2+2x)*(2x+2)=2(x+1)cos(x^2+2x).

(3)y=(3x)^x,因为它既不是指数函数，也不是幂函数，所以求导之前要变型，得到：

lny=xln3x,两边求导得到：

y'/y=ln3x+x(ln3x)'

y'/y=ln3x+x*3/3x=ln3x+1

所以y'=(3x)^x(1+ln3x).

· 积分函数的求导：

对有积分上下限函数的求导有以下公式:

[∫(a,c)f(x)dx]'=0，a，c为常数。解释：对于积分上下限为常数的积分函数，其导数=0.

[∫(g(x),c)f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x),a为常数，g(x)为积分上限函数，解释：积分上限为函数的求导公式=被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数。

[∫(g(x),p(x))f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x)-f(p(x))*p'(x),a为常数，g(x)为积分上限函数，p(x)为积分下限函数。解释：积分上下限为函数的求导公式=被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数-被积函数以积分下限为自变量的函数值乘以积分下限的导数。

举例子：

(1)[∫(x^2,1)(2x+5)dx]'

=(2x^2+5)*(x^2)'

=(2x^2+5)*2x

=4x^3+10x

(2)[∫(2x^2-1.x)sinxdx]'

=sin(2x^2-1)*(2x^2-1)'-sinx*(x)'

=4xsin(2x^2-1)-sinx.

· 导数的应用之一：判断函数的单调性：

通过对函数进行求导，得到函数的驻点，再研究导数的正负，得到原函数的单调增区间或者减区间。即使导数＞0的自变量取值的区间是其单调增区间，使其导数＜0的自变量取值区间是其单调减区间。例如：

求函数：y=2x^2-4x+3的单调区间。

分析：对于这个函数，因为是二次函数，即为抛物线，我们知道，其开口向上，对称轴x=1，所以当x＞1，函数单调递增，则x＜1单调递减。

此题还可以通过导数来求，通过函数和差公式，求导得到：

解：y’=4x-4.

另y’=0,所以4x=4，即x=1.

当x＞1的时候，y’＞0，此时函数单调递增，则区间（1，+∞）为函数的单调增区间。同理：

当x＜1的时候，y’＜0，此时函数单调递减，则区间(-∞，1)为函数的单调递减区间。

· 导数的应用之二：求函数的极限：

通过导数，在符合罗必塔法则的前提下，可以求出函数的极限,注意的是，同一道题目，只要符合罗必塔的法则，是可以多次使用的。其公式如下：

举例如下：

求lim(x→1)（x^3-3x+2）/(x^3-x^2-x+1)的极限。

解：当x→0，分子分母都趋近于0，符合罗必塔0/0法则，所以求积分就是分子分母分别求导（注意不是函数商的求导法则），得到：

原极限=Lim（x→1）（3x^2-3）/(3x^2-2x-1)，此时分子分母继续符合0/0型，继续使用罗必塔法则：

极限=lim（x→1）（6x）/(6x-2) 此时不再符合罗比达法则，直接带入极限条件，得到：

极限=6/4=3/2.

· 导数的物理意义：

在物理中，物理量位移为s，速度为v，时间为t，加速度为a，则之间存在如下关系：位移s对时间t的导数为速度，即：v=ds/dt.

速度v对时间t的导数，为加速度，即：a=dv/dt.也可以理解为s对时间的二次导数就是加速度，即：a=d^2s/dt^2.