高中数学：向量法证明立体几何中的垂直与平行问题

利用空间向量法证明立体几何中的垂直与平行问题，常包含6种情形。然而无论是哪种情形，最后都需要转化为求直线与直线的平行或垂直问题。这类题目在考试中常以选择题的形式出现，或者为立体几何解答题的第一小问以证明形式出现。

(1) 线线平行：a∥b(b≠0)⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；

(2) 线线垂直：a⊥b⇔x1x2+y1y2+z1z2 =0；或若直线a的方向向量为a，直线b的方向向量为b，a⊥b⇔a·b=0

(3)线面平行：若平面α的法向量为n，直线a的方向向量为a，则直线a∥平面α⇔a⊥n.

(4)线面垂直：若平面α的法向量为n，直线a的方向向量为a，则直线a⊥平面α⇔a∥n.

(5)面面平行：若平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，则α∥β⇔n1∥n2.

(6)面面垂直：若平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，则α⊥β⇔n1⊥n2.

例1、空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( )

A．平行 B．垂直

C．相交但不垂直 D．无法确定

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题型9.向量的平行与垂直

高考数学考点，空间直角坐标系与空间向量，考试要求必看

【考试要求】

1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；

2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式；

3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

【知识梳理】

1.空间向量的有关概念

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.

②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

(2)空间向量数量积的运算律：

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4.空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

【微点提醒】

1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.

2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.

3.向量的数量积满换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.

4.若向量α的投影向量是γ，则向量α－γ与向量γ垂直，当向量γ与向量α起点相同时，终点间的距离最小.

【考点聚焦】

考点一　空间向量的线性运算

【规律方法】　(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.

(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.

提醒　空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.

考点二　共线定理、共面定理的应用

【规律方法】

(1)证明空间三点P，A，B共线的方法

①＝λ(λ∈R)；

②对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1).

(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法

①＝x＋y；

②对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；

③∥(或∥或∥).

(3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明

考点三　空间向量的数量积及其应用　多维探究

角度1　数量积的坐标运算

角度2　数量积的线性运算

【规律方法】

1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.

2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题

【反思与感悟】

1.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键.

2.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，一种是建立空间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算.