国外的数学教材厚得离谱，相信大家都有所耳闻，那么究竟有多离谱呢？美国初中的代数学教材，连目录带正文一共是932页，几何课本1012页，在国内别说是数学，文科类的书也很少能达到这个量级的。美国高一的数学课本，总页数是1174页。而到了大学他们大一所学的教材页码达到了惊人的1397页。可以说，美国任意一个年级的数学课本都可以当枕头使，正好可以方便上课睡觉嘛。那与这惊人的页码相匹配的就是它惊人的价格，一本书动辄就是人民币四位数，让无数人是望而生畏。
那他们的数学书为什么这么厚呢？第一就是国外的教材对知识的讲解特别的详细，就拿高等数学中定积分这个概念举例子，我们国内的课本，三页讲完，但是美国的教材呢？从古希腊开始讲起，阿基米德最开始是怎么求圆的面积的，后来又讲到牛顿如何对一个曲边形进行分割，再讲到近代如何对分割求极限，那又是画图，又是举例，又是做计算，前前后后总共花了23页来介绍定积分的概念。这个就是中外教材的一个巨大的差异。
那第二个原因，就是他们的课后习题和扩展的内容非常的丰富，因为国外没有像国内这样五花八门的教辅书，他们把所有的教辅内容和课外阅读内容都放进了教材里面，所以国外的教材其实可以看成是教材，教辅和课外读本的三合一。
第三点原因，就是美国的数学教材预设的起点很低，因为美国高中的学习强度和难度远远不及国内，那学生的基础一般都比较弱，所以教材就不得不从最最简单的概念开始讲起。比如刚才提到的大学高等数学的教材，那前100多页其实都是在复习高中知识，那我们的教材到100页都快讲到泰勒公式了，而他们还在讲sin 30度怎么算， ln1等于几等等这些问题。讲到这里你可能会发出灵魂拷问，那为什么我们的教材不能像美国那样编写得浅显易懂，生动形象？为什么我们的教材就一定写得干巴巴的？
一个浅层次的原因就是没有必要。因为中国学生的数学基础普遍要比同龄的美国学生要好，所以没有必要像美国的教科书那样哈，从最最简单的概念讲起，没有必要再讲数列极限的时候还要再解释一下，什么叫等差数列，什么叫等比数列，什么叫公差，什么叫首相尾相。
深层次的原因呢，就是历史传统，当今的数学教育体系分为两个流派，一个是苏联系，一个是欧美系，而我国的数学教育一直继承的是苏联系，那苏联系教学的特点就像电影流浪地球里面那样，硬核且冷酷，残暴的运算练习从小学开始，所以数学底子普遍高于欧美学生。大家应该已经能感受到了。不过近年来，我看到了一些经济发达的地区和一些顶尖的大学，不断地在尝试进行数学教育的改革，有那么一丝丝欧美系的味道了。但是从全国的大盘来看，还是苏联系占主导地位。不过这是好事还是坏事，还得留到未来去观察。
今天我们来讨论一个非常有趣的问题，对于任意一个复数(a+bi)，取自然对数ln(a+bi)，其值是多少？
ln(a+bi)=？
这里a，b不同时为0
ln(0)没有意义
要想解决这个问题，我们还是需要利用到强大的欧拉公式。
欧拉公式：e^(ix)=cos(x)+isin(x)
a+bi=[√(a^2+b^2)]{a/√(a^2+b^2)+[b/√(a^2+b^2)]i}
由于a，b不同时为0，可令：
r=√(a^2+b^2)＞0
m=a/√(a^2+b^2)=a/r
n=b/√(a^2+b^2)=b/r
a+bi=r(m+ni)
我们为什么要提出一个系数r=√(a^2+b^2)呢？
因为我们想要使得：
m^2+n^2
=(a/r)^2+(b/r)^2
=a^2/r^2+b^2/r^2
=(a^2+b^2)/r^2
=(a^2+b^2)/(a^2+b^2)=1
m^2+n^2=1
而[cos(x)]^2+[sin(x)]^2=1
这样，我们总能找到一个合适的x，使得：
cos(x)=m，sin(x)=n
这里x只取主值，0≤x＜2π
a+bi=r(m+ni)
=r[cos(x)+isin(x)]
=re^(ix)
a+bi=re^(ix)
a，b不同时为0
r=√(a^2+b^2)＞0
cos(x)=m=a/r，sin(x)=n=b/r
0≤x＜2π
ln(a+bi)=ln[re^(ix)]
=ln(r)+ln[e^(ix)]
=ln(r)+ixln(e)
=ln(r)+ix
最终结论：
ln(a+bi)=ln(r)+xi
a，b不同时为0
r=√(a^2+b^2)＞0
cos(x)=a/r，sin(x)=b/r
0≤x＜2π
最后我们来看几个例子。
例1：求ln(-1)
解：-1=-1+0×i
a=-1，b=0
r=√[(-1)^2+0^2]=√1=1
cos(x)=-1/1=-1，sin(x)=0/1=0
0≤x＜2π，x=π
ln(-1)=ln(r)+xi
=ln(1)+πi=0+πi=πi
ln(-1)=πi
其实这个结论进一步推导即可得出著名的欧拉恒等式。
ln(-1)=πi
e^(iπ)=-1
欧拉恒等式：e^(iπ)+1=0
例2：求ln(i)
解：i=0+1×i
a=0，b=1
r=√(0^2+1^2)=√1=1
cos(x)=0/1=0，sin(x)=1/1=1
0≤x＜2π，x=π/2
ln(i)=ln(r)+xi
=ln(1)+(π/2)i=0+(π/2)i=πi/2
ln(i)=πi/2
例3：求ln(1+i)
解：1+i=1+1×i
a=1，b=1
r=√(1^2+1^2)=√2
cos(x)=1/√2=√2/2
sin(x)=1/√2=√2/2
0≤x＜2π，x=π/4
ln(i)=ln(r)+xi
=ln(√2)+(π/4)i=ln(2)/2+(π/4)i
≈0.3467+0.7854i
ln(1+i)≈0.3467+0.7854i
L、C元件称为“惯性元件”，即电感中的电流、电容器两端的电压，都有一定的“电惯性”，不能突然变化。充放电时间，不光与L、C的容量有关，还与充/放电电路中的电阻R有关。“1UF电容它的充放电时间是多长？”，不讲电阻，就不能回答。RC电路的时间常数：τ=RC充电时，uc=U×[1-e(-t/τ)] U是电源电压放电时，uc=Uo×e(-t/τ) Uo是放电前电容上电压RL电路的时间常数：τ=L/RLC电路接直流，i=Io[1-e(-t/τ)] Io是最终稳定电流LC电路的短路，i=Io×e(-t/τ)] Io是短路前L中电流
设V0 为电容上的初始电压值；V1 为电容最终可充到或放到的电压值；Vt 为t时刻电容上的电压值。则:Vt=V0 +（V1-V0）× [1-e(-t/RC)]或t = RC × Ln[(V1 - V0)/(V1 - Vt)]
例如，电压为E的电池通过R向初值为0的电容C充电,V0=0，V1=E，故充到t时刻电容上的电压为：
Vt=E × [1-e(-t/RC)]
再如，初始电压为E的电容C通过R放电 , V0=E，V1=0，故放到t时刻电容上的电压为：
Vt=E × e(-t/RC)
又如，初值为1/3Vcc的电容C通过R充电，充电终值为Vcc，问充到2/3Vcc需要的时间是多少？
V0=Vcc/3，V1=Vcc,Vt=2*Vcc/3，故 t=RC × Ln[(1-1/3)/(1-2/3)]=RC × Ln2 =0.693RC
注：Ln()是e为底的对数函数
提供一个恒流充放电的常用公式：⊿Vc=I*⊿t/C.再提供一个电容充电的常用公式：Vc=E(1-e(-t/R*C))，RC电路充电公式Vc=E(1-e(-t/R*C))。
关于用于延时的电容用怎么样的电容比较好，不能一概而论，具体情况具体分析。实际电容附加有并联绝缘电阻，串联引线电感和引线电阻，还有更复杂的模式--引起吸附效应等等，供参考。E是一个电压源的幅度，通过一个开关的闭合，形成一个阶跃信号并通过电阻R对电容C进行充电，E也可以是一个幅度从0V低电平变化到高电平幅度的连续脉冲信号的高电平幅度。电容两端电压Vc随时间的变化规律为充电公式Vc=E(1-e(-t/R*C))。式中的t是时间变量，小e是自然指数项。举例来说：当t=0时，e的0次方为1，算出Vc等于0V，符合电容两端电压不能突变的规律。对于恒流充放电的常用公式：⊿Vc=I*⊿t/C，其出自公式：Vc=Q/C=I*t/C。举例来说：设C=1000uF,I为1A电流幅度的恒流源（即：其输出幅度不随输出电压变化）给电容充电或放电，根据公式可看出，电容电压随时间线性增加或减少，很多三角波或锯齿波就是这样产生的。根据所设数值与公式可以算出，电容电压的变化速率为1V/mS。这表示可以用5mS的时间获得5V的电容电压变化；换句话说，已知Vc变化了2V，可推算出，经历了2mS的时间历程，当然在这个关系式中的C和I也都可以是变量或参考量。详细情况可参考相关的教材看看，供参考。
首先设电容器极板在t时刻的电荷量为q,极板间的电压为u.,根据回路电压方程可得：
U-u=IR（I表示电流），又因为u=q/C,I=dq/dt(这儿的d表示微分哦)，代入后得到：
U-q/C=R*dq/dt,也就是Rdq/(U-q/C)=dt,然后两边求不定积分，并利用初始条件t=0,q=0就得到q=CU【1-e-t/(RC)】这就是电容器极板上的电荷随时间t的变化关系函数，顺便指出，电工学上常把RC称为时间常数。
相应地，利用u=q/C,立即得到极板电压随时间变化的函数，u=U【1-e -t/(RC)】。
从得到的公式看，只有当时间t趋向无穷大时，极板上的电荷和电压才达到稳定，充电才算结束。
但在实际问题中，由于1-e-t/(RC)很快趋向1，故经过很短的一段时间后，电容器极板间电荷和电压的变化已经微乎其微，即使我们用灵敏度很高的电学仪器也察觉不出来q和u在微小的变化，所以这时可以认为已达到平衡，充电结束。
举个实际例子吧，假定U=10伏，C=1皮法，R=100欧，利用我们推导的公式可以算出，经过t=4.6*10(-10)秒后，极板电压已经达到了9.9伏。真可谓是风驰电掣的一刹那。
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