高三数学知识点-空间向量

1．空间向量的概念：

具有大小和方向的量叫做向量

注：⑴空间的一个平移就是一个向量

⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量

⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示

2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下

运算律：⑴加法交换律：a+b=b+a

⑵加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）

⑶数乘分配律：λ（a+b）=λa+λb

3共线向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量a平行于b记作a//b．

当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．

4．共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.

推论：如果ι为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线ι上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP=OA+ta．

其中向量a叫做直线ι的方向向量.

5．向量与平面平行：

已知平面α和向量a，作OA=a，如果直线OA平行于α或在α内，那么我们说向量α平行于平面α，记作：a//α．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量

说明：空间任意的两向量都是共面的

6．共面向量定理：

如果两个向量a，b不共线，P与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使P=xa+yb

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x，y，使MP=xMA+yMB或对空间任一点O，有OP=OM+xMA+yMB ①

①式叫做平面MAB的向量表达式

7 空间向量基本定理：

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc

推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP=xOA+yOB+zOC

8 空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a，b在空间任取一点O，作OA=a，OB=b则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作<a，b>；且规定0≤<a,b>≤π，显然有<a,b>=<b,a>；若<a,b>=π/2，则称a与b互相垂直，记作：a⊥b.

9．向量的模：

设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|.

10．向量的数量积： a·b=|a|·|b|·cos<a,b>．

已知向量AB=a和轴ι，e是ι上与ι同方向的单位向量，作点A在ι上的射影A'，作点B在ι上的射影B'，则A'B'叫做向量AB在轴ι上或在e上的正射影.

可以证明A'B'的长度|A'B'|=|AB|cos<a,e>=|a,e|．

11．空间向量数量积的性质：

（1）a·e=|a|cos<a,e>．

（2）a⊥b<=>a·b=0．

（3）|a|²=a·a．

12．空间向量数量积运算律：

（1）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）．

（2）a·b=b·a（交换律）

（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．

空间向量的坐标运算

一．知识回顾：

（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.

①令a=(a1,a2,a3),b=（b₁，b₂，b₃），则a+b=（a₁±b₁，a₂±b₂，a₃±b₃）

λ a=（λa₁，λa₂，λ₃）（λ∈R）

a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0

a//b<=>a₁=λb₁,a₂=λ₂,a₃=λ₃(λ∈R)<=>₁/b₁=a₂/b₂=a₃/b₃

a⊥b<=>a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0

|a|=√(a·a)=√(a₁²+a₂²+a₃²)(用到常用的向量模与向量之间的转化：|a|²=a·a=>|a|=√(a·a))

cos<a,b>=a·b/|a|·|b|=（a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)/ √(a₁²+a₂²+a₃²)·√(b₁²+b₂²+b₃²)

②空间两点的距离公式：d=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²].

（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，如果a⊥α那么向量a叫做平面α的法向量.

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条射线，其中A∈α，则点B到平面α的距离为|AB·n|/|n|.

②利用法向量求二面角的平面角定理：设n₁，n₂分别是二面角α-ι-β中平面α，β的法向量，则n₁，n₂所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n₁，n₂方向相同，则为补角，n₁，n₂反方，则为其夹角）.

③证直线和平面平行定理：已知直线a≠不包含平面α，A·B∈a，C·D∈α，且CDE三点不共线，则a∥α的充要条件是存在有序实数对λ·μ使AB=λCD+μCE.（常设AB=λCD+μCE求解λ,μ若λ,μ存在即证毕，若,λμ不存在，则直线AB与平面相交）.