初中数学中考知识点复习统计与概率篇之概率

概率在日常学习生活中应用广泛，目前如火如荼的2022世界杯比赛中猜测比赛结果就应用到概率知识。

在学习概率之前，需要掌握几个基本的概念，什么是确定事件，什么是不确定事件？确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件是指在一定条件下进行重复试验，事先能肯定它一定会发生的事情；不可能事件，在一定条件下进行重复试验，事先能肯定它一定不会发生的事情。不确定事件又称随机事件，在一定条件下进行重复试验，事先无法肯定它会不会发生的事情。

特别注意：不可能事件是属于确定事件，而不属于不确定事件。

根据不确定事件发生的可能性大小，帮助我们做出合理的决策。

试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性。在n次重复试验中，事件A发生了m次，则比值m/n称为事件A发生的频率；在试验次数很大时，随机事件A的频率，都会在一个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性。

我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P(A)。一般的，大量重复的试验中，我们常用随机事件A发生的频率来估计事件A发生的概率。

必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；随机事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数。

频率与概率的关系：频率是指事情发生的频繁程度，概率是指事情发生的可能性，大量的试验会让频率接近于概率。

区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同，而概率是一个确定数，是客观存在的，与每次试验无关。

一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P(A)=m/n。

概率的求法关键是找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目。二者的比值就是其发生的概率。

概率的计算可以利用树状图或表格两种方法，我们可以不重复、不遗漏地列出所有可能性相同的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率.

画树状图求概率的基本步骤

（1）明确一次试验的几个步骤及顺序；

（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果；

（3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n；

（4）用概率公式进行计算.

列表法求概率应注意的问题、确保试验中每种结果出现的可能性大小相等。

列表法求概率的基本步骤：

（1）：列表格；

（2）：在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个数m；

（3）：代入概率公式 P(A)=m/n 计算事件的概率.

列表法适用于两个试验因素的试验。

列举法特征

树状图特征

试验频率与理论概率之间的关系：

联系：当试验次数很大时，事件发生的频率稳定在相应概率的附近，即试验频率稳定于理论概率，因此可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．

区别：某可能事件发生的概率是一个定值.而这一事件发生的频率是波动的，当试验次数不大时，事件发生的频率与概率的差异很大.事件发生的频率不能简单地等同于其概率，要通过多次试验，才能用一事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．

应用：试验频率≈理论概率。

新教材中计算条件概率的四种常用方法

初中数学概率题解题步骤及书写规范

中考数学中，概率题几乎是必考题，每年中考赋予的实际情境都不同，但考查的内容都是一样的，那就是利用列表或画树状图的方法求等可能事件的概率，题目本身都很简单，但是一定要注意解题步骤及书写规范，不然很容易丢分的。

习惯上，人们画树状图比较多，因为列表需要用尺子画表格，稍麻烦些。

共分3个步骤：

1、列表或画树状图

2、根据表格或树状图描述n和m

3、把n和m代入公式P(A)=m/n求解

下面就这三个步骤中需要注意的问题分别阐述下。

1、列表或画树状图.

①转化分解

把一个事件转化分解为2~3个步骤，比如4个球中随机摸2个，本来是同时进行的一件事可以转化分解为两个步骤：先摸一个球，再摸一个球。再比如2男2女中随机抽取2个人，也可分2个步骤：先选一个，再选一个。

初中列表或画树状图求概率和高中排列组合计算概率不同，高中要“先分类，后分步”，这里却是“先分步，后分类”。

②注意“放回”还是“不放回”

“不放回”体现在列表上就是对角线为空，体现在树状图上就是下一步比上一步种类少1

③关于“开始”

很多画树状图的答案上都有个“开始”

对此问题，曾请教过一些年长的同事，说是早以前的课本上有“开始”，但是后来就取消了，已经取消了很多年，所以不需要写。当然，你要是喜欢写也可以。

2、根据表格或树状图描述n和m.

描述n时要特别强调“等可能”三个字，通常有两种写法：①共有n种等可能的结果；②共有n种结果，它们的可能性都是相等的。一般用第一种的多，因为简洁明了。

描述m时通常这样说：其中A事件包含的结果共有m种。

3、把n和m代入公式P(A)=m/n求解.

代入公式时注意两点：①简单描述下事件A；②最后结果一定要化到最简，除不尽千万不要化成小数。

例、从两男两女中随机选两个人打扫卫生，求选取的两个人恰好是一男一女的概率

解：画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能的结果，其中选取的两人恰好是一男一女的结果有8种.

∴P(恰好一男一女)=8/12=2/3.

墨菲定律：概率大于零的事，均可能发生，这是数学逻辑

墨菲定律（概率大于零的事，均可能发生）

墨菲定律是一种心理学效应，1949年由美国的一名工程师爱德华·墨菲（Edward A. Murphy）提出的，亦称墨菲法则、墨菲定理等。

原文为：如果有两种或两种以上的方式去做某件事情，而其中一种选择方式将导致灾难，则必定有人会做出这种选择。根本内容是：如果事情有变坏的可能，不管这种可能性有多小，它总会发生。

“墨菲定律”“帕金森定律”和“彼德原理”并称为二十世纪西方文化三大发现。

指凡是可能出错的事有很大几率会出错，即任何一件事情，只要其发生的概率大于零，该事情总会（迟早）在某一时刻发生。启示人们做事情一方面要对错误保持平常心，一方面也要防微杜渐，不存侥幸。[最早源自1949年，美国空军上尉工程师Edward A. Murphy的对他的某位运气不太好的同事随口开的玩笑：“如果一件事有可能被做坏，让他去做就一定会更坏。”1992年，由Edward A. Murphy正式提出。]

在数理统计中，有一条重要的统计规律：假设某意外事件在一次实验（活动）中发生的概率为p（p>0），则在n次实验（活动）中至少有一次发生的概率为P=1-（1-p）n。由此可见，当实验次数n趋向于无穷时，pn会越来越趋于1，即成为必然事件。

Anything that can go wrong will go wrong. （凡事只要有可能出错，那就一定会出错。）其中可延伸4个深刻的道理：1）任何事都没有表面看起来那么简单；2）所有的事都会比你预计的时间长；3）会出错的事总会出错；4）如果你担心某种情况发生，那么它就更有可能发生。

在心理学上有一定根据，即负面心理暗示会对人的心态及行为造成不良影响。要打破墨菲定律的“诅咒”，就要有坚定的自信，稳定的心态，积极的心理暗示，以肯定式的语言做表述，对自卑感等负面情绪或不良念头采取零容忍策略，一旦察觉立即打消。即便遭遇挫折，也要有“尽人事听天命”的觉悟，充分发挥自身潜力勇敢应对，始终以正面、阳光的心态面对生活。

案例1：哥伦比亚号灾难事件

2003年，美国“哥伦比亚”号航天飞机即将返回地面的时候，在得克萨斯州中部地区上空出了事故，导致航天飞机上6名宇航员全部遇难，其中包括首位进入太空的以色列宇航员拉蒙。该事故也充分印证了墨菲定律—这种复杂的系统出事是不可避免的，不是在今天，就是在明天，出现事故也是合情合理的。

在该次重大的事故之后，人们开始寻找事故原因，以防止下一次再发生类似的情况，大多数人也都是这样理解的，相信没有一个国家会因为出了一次航天事故就放弃整个航天事业。这种灾祸的发生几率，其实和中彩票的概率是一样的，虽然都很小，但是如果平时不注意扫清死角，消除那些不安全的隐患，那么事故爆发的概率就会累加起来，最后肯定来个大爆发。

摘自独立学者，作家，艺术家灵遁者书籍《探索生命》。

《探索生命》为灵遁者科普四部曲之一，其他三本为《变化》，《见微知著》，《重构世界》。为灵遁者必读书籍。