既然虚数不存在，为什么还要学它呢？

撰文/周向宇

在高中的数学课本中会出现一个非常奇妙的数——“虚数”。为什么说虚数奇妙呢？因为，不管是正数还是负数，平方（自己与自己相乘）之后一定会得到正数。但虚数的平方却是负数。这样的数，好像在日常生活中并不存在吧。那么，为什么要学虚数呢？那是因为在数学里，虚数具有极其重要的作用。实际上，如果没有虚数，数的世界就会变得不完整。另外，对于探明微观世界的“量子力学”来说，虚数也是不可或缺的。

虚数不虚：从虚幻到实用

人们研究虚数的动力来自一元三次方程的根式求解。中学都学过一元二次方程的根式求解，其中最关键的方法就是配方法。如果遇到x2＋1＝0的情形，人们会认为该方程无解，不予深究和讨论。当人们掌握了一元二次方程的根式求解方法后，自然想知道三次、四次方程是否也能进行根式求解。

在16世纪，数学家们开始探讨这个问题，并找到了一种方法将三次方程的求解化为二次方程的求解。比如，遇到x3＝15x＋4这种三次方程，就可以将求解问题转化为“两个数的和等于4，乘积等于125”这样的二次方程的求解问题。显然，由于该二次方程的判别式小于0，故在实数域中无解。但是，这个三次方程显然有一个实数解，即x＝4。于是，这种矛盾的存在就促使人们引进了虚数及其四则运算，通过对转化的二次方程引入虚数解而得到三次方程的实数解。

虚数引进后，在数学界引起不小的争议。一些著名数学家，如笛卡尔、牛顿、纳皮尔（对数的引进者）等不承认虚数。比如，笛卡尔认为这种数是“想象中的数”，因此将其命名为imaginaire，但也有数学家如棣莫弗、欧拉等开始积极使用虚数，并建立了棣莫弗公式和欧拉公式，从而将三角函数和指数函数联系在一起。目前普遍使用的纯虚数单位i就是由欧拉引入的。

但“虚数是否具有实际的意义”这个问题仍困惑着当时的数学界。直到数学家发现虚数的几何与向量解释，特别是数学家高斯，将这类数命名为复数，提出了复平面的概念，给出了复数在现实世界中的可视化表示，从而结束了这场争议。正如实数对应于一条直线上的点（实轴），复数对应的是平面中的点（复平面）。复数有大小有方向，与力、速度、加速度等物理量的向量特征吻合，这为复数在实际中的应用埋下了天然伏笔。

复数具有同实数相同的四则代数运算及运算规律。但与实数不同的是，复数对开方运算也是封闭的（代数闭域）。复数域上n次多项式方程恰有n个根，这被称为“代数基本定理”。复数有丰富的代数、几何、度量、拓扑结构，复数间的映射还可以探讨连续、光滑、解析等分析结构。结合微积分，人们在19世纪建立了神奇美妙的复变函数论。20世纪，又产生了多复变函数论与复几何这些现代数学的核心领域课题。

复数的引入，不但对数学本身的发展有着极其重要的意义，而且对科学、技术、工程的发展也起到了非常重要的作用。高斯、库默尔利用复数研究平方和问题与费马大定理。黎曼利用复变函数研究素数分布问题。虽然这些数论问题看起来与复数毫无关系，但却都能利用复数探索解决的方法。仅在苏联出版的《复变函数论方法》一书中，就列举了复变函数论在流体力学、气体动力学、弹性理论、电磁学、电工学、电路计算、机翼设计、地下水、堤坝设计等科学与工程问题中的重要应用。而复分析与复几何则能帮助我们从更基础的层面认知自然世界及时空的概念。

从“虚幻”到“实用”，“虚数”其实不虚，由此而来的复数与复变函数更是具有神奇的作用。复变函数已成为大学理工科的必修科目。虚数本是为构建科学知识体系而引入的，引入时既无实际应用背景，也无实际应用需求。但现在看来，没有虚数，现代数学知识体系将严重残缺不全。

我们应重视“无用之用”的科学研究。庄子曰：“人皆知有用之用, 而莫知无用之用也”。复数的研究正是“无用之用”的研究。古人说的“探赜索隐，钩深致远”和“格物致知”道出了科学研究的真谛。科学研究正是从已知探索未知以求新知，构建科学知识体系。正如徐光启所说“无用之用，众用之基”，“无用之用”的科学研究，正是通过所构建的科学知识体系，而成为许多实用技术的基础与源头，不断造福人类。

作者简介

周向宇，1985年毕业于湘潭大学数学系，1988年、1990年先后获中国科学院数学研究所硕士、博士学位。1998年于俄罗斯科学院Steklov数学所获俄国科学博士学位。2013年当选中国科学院院士，2018年当选发展中国家科学院院士。主要从事多复变与复几何的研究，曾获中国科学院自然科学奖一等奖、陈省身数学奖、国家自然科学二等奖、陈嘉庚科学奖。

虚数到底有什么意义？从 i 说起

用自己的语言

讲述我所理解的虚数

有人在Stack Exchange问了一个问题：

\"我一直觉得虚数（imaginary number）很难懂。中学老师说，虚数就是-1的平方根。

可是，什么数的平方等于-1呢？计算器直接显示出错！

直到今天，我也没有搞懂。谁能解释，虚数到底是什么？它有什么用？\"

帖子的下面，很多人给出了自己的解释，还推荐了一篇非常棒的文章《虚数的图解》。我读后恍然大悟，醍醐灌顶，原来虚数这么简单，一点也不奇怪和难懂！

下面，我就用自己的语言，讲述我所理解的虚数。

什么是虚数

首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。

这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。

这相当于两次逆时针旋转90度。

因此，我们可以得到下面的关系式：

(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)

如果把+1消去，这个式子就变为：

(逆时针旋转90度)^2 = (-1)

将\"逆时针旋转90度\"记为 i ：

i^2 = (-1)

这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。

所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。

复数的定义

既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。

将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。

只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。

数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。

为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。

虚数的作用：加法

虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。

比如，物理学需要计算\"力的合成\"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？

根据\"平行四边形法则\"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。

这就是虚数加法的物理意义。

虚数的作用：乘法

如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。

比如，一条船的航向是 3 + 4i 。

如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？

45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：

( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。

如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：

( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

虚数乘法的数学证明

为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？

下面就是它的数学证明，实际上很简单。

任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。

假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：

a + bi = r1 * ( cosα + isinα )

c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于

r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

展开后面的乘式，得到

cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

根据三角函数公式，上面的式子就等于

cos(α+β) + isin(α+β)

所以，

( a + bi )( c + di ) ＝ r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )

这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。

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本文由超级数学建模编辑整理

本文来源于阮一峰的网络日志

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