数学学习 | 高中数学知识：平面向量的乘法运算！（建议收藏！）

#头条创作挑战赛#

全文共1353字，预计阅读时间：4分钟

之前我们学习了平面向量的概念、表示和相互关系等基础知识，同学们要及时进行复习哦！

在学习数量的时候，我们学习了数量的运算，和数量类似的，向量也是可以进行运算的，但是由于向量相比数量增加了方向，自然在运算过程中也会有所区别。

上周，我们学习了向量的加法和减法运算，今天我们来学习一下向量的乘法运算，向量的乘法可以分为两类，分别为向量与数量的乘法称为数乘运算和向量与向量的乘法，而向量与向量的乘法又分为点乘运算和叉乘运算，其中叉乘运算是大学知识。

数学学习 | 高中知识点解析与讲解 - 平面向量的乘法运算！（值得学习）

今天我们主要学习的是向量的数乘运算和点乘运算，快看下去吧！

向量的数乘运算是指向量和数量的乘法，因此与数量的乘法类似。

在数量的乘法中，我们可以将数量的乘法等同于数量的累加，例如3×2可以看作是3个2的累加，也就是2的3倍。

类比到向量的数乘，我们也可以将其看成向量的累加，例如对于向量a，3a就是3个向量a叠加，也就是a+a+a。

通过上一个例子，我们可以发现向量的数乘3a与向量a的方向相同，其长度是向量a的3倍，也就是|3a|=3|a|.

因此，我们可以总结出向量的数乘的概念，即实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa。

我们规定向量λa的长度|λa|=|λ||a|，其方向当λ>0时，λa与向量a方向相同，当λ<0时，λa与向量a方向相反。

当λ=0时，λa是零向量。

对于实数λ和μ以及向量a和向量b，我们可以得到向量的数乘符合以下运算律：

1）λ(μa)=(λμ)a；

2）(λ+μ)a=λa+μa;

3）λ(a+b)=λa+λb；

因此，我们也可以得到：

1）(-λ)a=-(λa)=λ(-a)；

2）λ(a-b)=λa-λb。

向量的数乘和上周所学的向量的加减法都是向量的线性运算，向量线性运算的结果依然是向量。

之前我们学习了共线向量就是平行向量，即方向相同或相反的非零向量，同时我们知道向量数乘的结果与原向量方向相同或相反，因此我们可以得到以下定理：

向量a（a不是零向量）与向量b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b=λa。

因此，我们可以发现位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示。

对于两个非零向量a和b，向量的点乘记作a·b，在高中阶段我们称之为向量a和b的数量积，也称为内积，其表示为a·b=|a||b|cosθ，其中θ是向量a和b之间的夹角，如图：

θ的取值范围是[0,π]，当θ=0时，两向量同向；当θ=π时，两向量反向；当θ=π/2时，两向量垂直，记作a⊥b。

我们规定，零向量与任意向量的数量积为0（数量）。

根据上面向量的数量积定义，我们可以得到以下性质：

对于非零向量a和b，其夹角为θ，并设向量b同向的单位向量e，有：

1）a·e=e·a=|a|cosθ；

2）a⊥b时，a·b=0；

3）当向量a和向量b同向时，a·b=|a||b|；当向量a和向量b反向时，a·b=-|a||b|；特别地，a·a=|a|^2；

4）|a·b|≤|a||b|。

同时，对于向量a, b和c以及实数λ，我们也可以得到向量的数量积符合以下运算律：

1）a·b=b·a；

2）(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；

3）(a+b)·c=a·c+b·c。

今天，我们学习了平面向量的数乘和数量积运算，希望可以帮助同学们更好的进行高中数学学习哦！

同学们有任何不懂的内容可以留言提问，如果有需要的话我们会有习题类推文哦！

下一期我们将继续讨论数学学习的相关问题呀！如果你想知道更多，请关注我们哦！

本文由如意王工作室原创，欢迎关注，带你一起长知识！

向量的点乘和叉乘区别及几何意义

向量点乘和叉乘的区别：向量点乘结果是标量，是两个向量在一个方向的累计结果，结果只保留大小属性，抹去方向属性，就相等于降维；向量叉乘，是这这两个向量平面上，垂直生成新的向量，大小是两个向量构成四边形的面积。相等于生维。这是运算所需要，向量加和减都是在同一纬空间操作的，如果要想实现维度的变化就要在向量的乘法做出定义。

向量点乘（内积）：

点乘（Dot Product）的结果是点积，又称数量积或标量积（Scalar Product）,结果就是个数，把方向给抹去了。向量是有两个属性的：大小和方向，点乘的结果就是得到一个标量。相等于降维了。

定义为：对两个向量对应位置上的值相乘再相加的操作，其结果即为点积。

从这个结果来看，就知道没有方向属性，只是数字之间的运行，最终结果也是数字。

从几何角度看，点积是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。点乘的结果表示向量A在向量B方向上的投影与向量B模的的乘积，点乘的意义就是两个向量在一个向量方向的共同积累的结果，但是这种结果只保留的大小属性，抹去了方向这个属性；同时反映了两个向量在方向上的相似度，结果越大越相似。基于结果可以判断这两个向量是否是同一方向，是否正交垂直，具体对应关系为：

.则方向基本相同，夹角在0°到90°之间

.则正交，相互垂直

.则方向基本相反，夹角在90°到180°之间

我们最常见的例子就是就是力对物体做功。如图所示，一个力F施加于木块上，使得它沿着水平桌面向前移动s的距离，那么求F的功。根据功的定义，功是力与物体在力的方向上的位移的乘积。这个说明什么，说明了功是力对物体在空间上的积累的物理量。那么根据这个定义就有两种分解方法如图所示。

向量叉乘：（外积）

叉乘（Cross Product）又称向量积（Vector Product）。

定义为

从结果我们看出还保留向量的基本单位i，j,k;所以结果也是一个向量，既有大小，又有方向，只是这个方向人为定义出来，垂直于这两个向量构成的平面，符合右手定则。

几何意义：

以向量a和向量b构成一个平行四边形，那么这两个向量外积的模长与这个平行四边形的面积相等。