还是拿小汽车为例。当小汽车从数据变成图形的时候，最开始是处于虚拟3D坐标系原点的，而且，初始的小汽车模型数据是优化过的，其中很多数据都是对称的或者干脆是0，也就说，最原始的小汽车数据是最容易处理的。这几个步骤中，平移是最简单的，缩放稍微复杂些，旋转是最复杂的了，而投影必须在最后一步。

如果不按这个顺序呢？也是可以操作的，只不过，会带来性能和效率上的问题。

如果我们先平移后旋转，就相当于让简单的平移把最原始的优化数据破坏了，数据一旦被破坏就会变复杂，然后，这个“复杂化”的数据再进行旋转的话，会加大CPU的负荷。

如果我们先旋转后平移，相当于最优的数据先进行复杂计算，然后再进行简单的平移计算，就能大大提高3D图形数据的处理速度了。

明白了这一切之后，我们再深入了解一下3D物体的旋转。

由于上面先旋转后平移的原则，我们的旋转都是在3D坐标系原点进行的。一开始我们会觉得旋转很简单，不就是转动个角度吗？仔细一想发现并不简单，因为物体是自由的，它可以绕着任何一条直线进行旋转，问题一下子就变得复杂了。

但是，根据程序员们的经验，任何一个物体的复杂旋转问题，都可以分解成相对简单些的“绕轴”旋转，也就是绕着x轴、y轴或者z轴之一进行旋转。因为任一旋转轴都可以看成是一个向量，这个向量可以分别在三个轴上进行投影，某个物体绕着该轴旋转的时候，我们可以用三角函数的知识得到该物体绕3个轴分别旋转了多少角度。总而言之一句话，绕着3个方向轴的旋转，可以合成3D物体的任意旋转。

所以，我们只需要知道，一个3D物体绕某个方向轴旋转应该如何计算，然后，我们就可以处理3D物体的任意旋转了。

我们可以把问题再简化一下，这回旋转的不是小汽车了，而是一个立方体（旋转的原理是一样的），立方体的正中心就处于3D坐标轴的原点。

好了，我们试着让这个立方体绕着z轴顺时针旋转一个角度θ。

你发现了什么？没错，一个立方体绕着z轴旋转的时候，里面任意一点的z坐标是不变的。为什么z坐标不变呢？你想一想，要改变立方体的z坐标，是不是需要让立方体在z轴方向上移动呢？而现在，立方体只是绕着z轴旋转，根本就没有移动。如果把这个立方体投影到z轴上（降到一维），它就变成了一条直线，而旋转的过程中，这条直线是不会变的。

也就是说，立方体绕着z轴旋转，我们只需要重新计算旋转后的x、y坐标就可以了，然后，这个相对复杂的3D问题一下子就变成一个2D问题了。

在3D游戏编程中，所有的3D物体都是由一个一个三角形组成的，而三角形是由3个小点组成的，也就是说，立方体的旋转过程，可以简化成一个又一个点的旋转。接下来，我们就在2D坐标系下推导一下任意一点的旋转计算过程。

其实，这个问题使用初中数学的知识就可以解决了，我们先看下图。

画一个最常见的x-y坐标系，然后点A绕着原点旋转一个θ角度来到了A’点，已知A点的坐标是(x,y)，如何计算A’点(x’,y’)的坐标呢？

这个问题看起来难解，其实我们只要按部就班就能解决。

1.首先我们把A点和A’点和原点O连起来，那么OA和OA’的夹角为θ；

2.设OA’和x轴的夹角为φ，这样的话，方程就很好列了；

3.然后列A点的方程，设OA的长度是r，可以得到如下的方程：

4.接下来再列A’点的方程：

5.然后，我们用和差公式展开A点的方程：

6.把A’点的方程代入A点的方程，就可以消除r这个变量了：

7.在A点方程两边乘以cosθ，就可以得到第一个关系方程：

8.在A点方程两边乘以sinθ，就可以得到第二个关系方程：

9.根据三角函数的平方公式，x’和y’右边的平方和为1，所以，两个方程可以写成下面这样的最终形态：

根据最开始矩阵的知识，我们可以把这两个方程写成下面的矩阵样子：

这下明白了吧？一个点的旋转，可以非常简单地仅仅利用一个矩阵进行解决。

我们做个简单的对比：

如果不用矩阵的话，这个旋转的过程需要4次乘法、2次三角函数计算、2次加法；

如果我们用矩阵计算的话，只需要进行1次矩阵乘法操作。

你可能会说，矩阵的计算不还是要展开吗？如果你这样想的话，那就错了。因为矩阵非常对称的关系，而且用在3D图形学中的矩阵都是正方形矩阵，计算机在处理矩阵乘法的时候有很多非常特别的方法，非常快速就能计算出结果。所以，用矩阵乘法来代替普通的乘法和加法，能大大提高3D图形处理的效率。

我们上面得到的矩阵乘法，是2D点使用的，但我们是3D空间，里面是3D的点，该如何推导呢？其实很简单，因为绕z轴旋转的时候z坐标是不会变的，我们只需要把上面得到的二维矩阵扩展到三维就可以了。

我们先改变一下矩阵的写法，把上面竖着写的x、y变成横着写的x、y：

这样的话，更符合我们的视觉习惯，也就是一个点的坐标乘以矩阵得到另一个坐标。

然后，我们要把二维坐标变成三维坐标，也就是在两边各添加一个相同的z坐标:

按照矩阵乘法的规则，我们得到了如下的三维点旋转的变幻矩阵：

这是绕z轴的旋转矩阵，还有绕x轴、y轴的旋转矩阵，推导过程就不重复了，和z轴的推导过程类似，我在这里就把结果写出来吧。

三、从移动操作看齐次坐标

旋转矩阵是除投影矩阵外最复杂的一个了，不过，你跟着我上面的思路，应该不难理解吧？

也就是说，不仅旋转可以变成矩阵乘法，缩放、平移、投影也能变成矩阵乘法。我们先看平移的过程。

平移其实很简单，就是一个简单的加法而已。比方说，这回是三维空间中的点A，坐标是(x,y,z)，我们要把它移动一段距离。根据前面学习的向量知识，移动的过程可以看成是一个向量加法的过程。不理解？我们画个图你就明白了。

我们要得到A’点的坐标很简单，只要计算(x,y,z)+P的结果就行了。

假设向量P的坐标是（Px,Py,Pz），那么，A’点的坐标就是下面这样子的：

A’ = (x+Px,y+Py,z+Pz)

但是，我们的目的不是加法，而是要把这个平移的过程写成类似矩阵相乘的样子，比方说下面的这个样子：

我们可以直接解方程，然后代入这个矩阵，这个矩阵就会变成下面的样子：

不用我来评价你也知道，变换矩阵写成这个样子肯定是不行的。原本只是一个简单的加法，变成矩阵之后，竟然活生生多出了除法的计算！而且，当A点坐标中有0分量的时候，这个变换矩阵还不能用！这不是明显的简单问题复杂化吗？即便计算机在处理矩阵乘法的时候有优势，但我们也不能这么造啊！

当年的程序员们也发现了这个问题，不过，他们很快就解决了这个问题，方法很简单——给三维空间中的点增加一个齐次坐标。

也就是说，A点的坐标不再是(x,y,z)，而是变成了(x,y,z,w)。实际上，披着程序员外衣的数学家们又一次创造了新东西（齐次坐标和四元数是类似的，四元数是由数学家William Rowan Hamilton于19世纪发明的，是不是很早？），齐次坐标的意义并没有如此简单，但我们在3D游戏编程中用到的仅仅是w=1的情况。为什么呢？因为w=1后，不会改变3D点的性质，而且还能简便计算。

给点增加齐次坐标之后，这个平移矩阵的问题就变成了一个4D的问题了：

由于平移向量P是已知的，再根据矩阵乘法的特性，平移矩阵的推导并不难。我们拿x->x’的计算过程来推导一下。

x’是目标矩阵的第一列，也就是A点形成的1×4矩阵的第一行和平移矩阵的第一列分别相乘相加，假设平移矩阵第一列是c1、c2、c3、c4，那么可以得到如下的等式：

这个等式很容易解，很明显可以得到如下的答案：

c1=1

c2=0

c3=0

c4=P

x我们用这个方法可以很容易把平移矩阵的4列全部推导出来，最终形成的平移矩阵是下面这个样子的：

你看，增加了一个齐次坐标之后，这个平移矩阵不仅容易理解，而且还没有增加计算量，可以靠着计算机的矩阵加速来快速计算，最主要的是，平移的过程也变成了一个简单的矩阵乘法过程了。（在3D图形学中，平移问题引申出来的还有仿射空间的概念，有兴趣的朋友可以自己探索探索）

其实，程序员们基本上都有强迫症。旋转矩阵是3维的，为什么平移矩阵要4维？为了强迫症，程序员们把所有的变换矩阵都扩展到了4维，也就是说，全部增加了齐次坐标。推导过程很简单，我就直接把4维的变换矩阵全部列出来吧。

关于3D图形学中的这个矩阵变换，有很多人是一边疑惑一边学习的，他们最大的疑惑就是——为什么3D坐标非要用4D的矩阵？

那是因为那些人学习的时候没有一个思考的过程，他们的老师直接把变换矩阵教给了他们，而不去说明一下，当然会疑惑了。但是在这里，只要你一步一步跟着我上面的思路，就不会有这样的疑惑，因为道理很简单：为了让平移的过程简便化，也为了程序员们的“强迫症”。

四、关于投影矩阵

都说道这里了，干脆一口气把最后的投影矩阵也说了吧！

我们已经知道，投影过程是把3D内容投影到一个二维平面上，这个问题看起来毫无头绪，但生活中是有活生生例子的。

什么例子呢？就是——拍电影。

电影是显示在二维幕布或者屏幕上的，可显示的却是3D世界，说得严谨一些，显示的就是3D世界在摄像机的感光平面上的投影图像罢了！

也就是说，我们只需要模仿摄像机的工作模式，就能慢慢推导出投影的过程了。

好了，假设你来到了虚拟的3D世界，现在举着虚拟的摄像机在拍摄虚拟的3D世界。

由于你是在虚拟世界中，你可以没有重力的影响，那么，你会有哪些动作呢？

你拿着摄像机，起码有如下的一些操作：

①移动；

②左右转动镜头；

③上下转动镜头。

我们不需要其他的操作了，因为其他的操作都能从这3个基本操作中合成出来。

但是，这么看的话，问题还是很复杂，因为摄像机要运动，计算的时候要怎么入手呢？

先放下这个问题，我们可以把问题进行简化：假设摄像机一直不动，投影矩阵是什么样的呢？

为了更简化问题，我们让摄像机处于世界坐标原点的位置，那么，投影的过程是什么样的呢？

这里有2个参数。

①摄像机是一个透镜组合（其实我们眼睛也是透镜组合），对于透镜，有一个成像的平面，这个平面距离透镜组（摄像机）是有一定距离的，我们把这个距离叫做视距（你可以直观感受到，你把一个物体靠近眼睛，太近的话，根本看不清，而且，当你眼睛看某个距离的物体时，那些更近的物体就会模糊，在摄像机的表现上就是前景虚化了）。而视距就是我们的第一个参数，假设是d。

②投影的时候有个视角的问题，就是摄像机能够看多宽的视野。视野不能太窄也不能太宽。玩过摄影的朋友应该知道，视野太窄的远摄镜头不适合拍摄视频，只适合打鸟；视野太宽的广角镜头也不适合拍摄视频，因为画面会变形，看起来不真实。最合适拍视频的就是正常视野的镜头，一般是50mm左右的镜头。在3D游戏中，为了数学计算的简便，我们一般取的是90°视野的虚拟摄像机，这样拍出来的画面不仅没什么畸变，而且数学计算很简单（直角在三角函数中就是很简便的）。

好了，现在假设三维世界中某个点p(x,y,z)要投影到这个视距为d、视角为90°的虚拟摄像机投影面上，要如何列方程呢？

首先，z坐标就没有了，因为在投影的过程中“降维”了，我们只需要计算这个条件下的x、y坐标就行。

如何计算这两个坐标呢？我们只需要在x-z平面上和y-z平面上分别计算坐标就行。

拿x-z平面来看，可以画出如下的投影过程图：

我们不需要z坐标，只需要x坐标，那么，很容易就能根据相似三角形列出方程：

然后，在y-z平面也能很容易列出y坐标的方程：

我们可以看到，z0就是视平面的距离d，这样从(x1,y1,z1)这个点投影到视平面上的(x0,y0)的方程就很容易列出来了，我们直接把矩阵加上去：

结合我们上面列的2个方程，我们很容易就能计算出这个矩阵的数值：

分母有个z1怎么办？矩阵需要通用，不可能每一次数学计算之前都重新计算一遍矩阵，那样的话，干脆不用矩阵算了，毕竟，投影的过程不是很复杂，用普通的数学计算方式性能也差不到哪里去。

不过，在一个3D程序中统一使用矩阵是有很多好处的，因为，可以把一系列的矩阵全部按顺序先乘起来，最后，原始坐标只要乘以一个矩阵就能变换到投影坐标了，性能提升是非常可观的。

既然如此，这个分母中的z1怎么办？这里，就体现出齐次坐标的用处了。我们可以把投影矩阵写成如下4×4的样子：

这个相当于是把目标点(x0,y0)分别乘以z1倍，扩展到4维的时候，把齐次坐标w也乘以了z1倍，这样，这个矩阵就和z1没有关系了。

然后，我们在使用这个矩阵的时候，只要在计算过后通过重置齐次坐标w为1的操作，就能保证最后坐标的正确性。

也就是说，当摄像机位于零点，正对z轴，并且视距是d、视角是90°的时候，投影矩阵就是上面的那个样子。

没错吧？

实际上，还有一个小问题，那就是屏幕宽/高比的问题。我们计算的这个投影矩阵是基于正方形投影面来说的，而实际上，电脑屏幕或者其他屏幕很少有正方形的，宽度和高度基本上都不一样。也就是说，当正方形投影图像显示在长方形的屏幕上时，图像就会产生拉伸而显得不真实。

解决的方法其实很简单，就是在投影变换的时候，把y轴的投影按照屏幕的宽/高比进行缩放就可以了。

假设屏幕是4:3的，那么，在投影变换的时候，让y轴的投影乘以4:3的倍数，这样，y方向的内容就会相应变少，最后，这个正方形投影面映射到屏幕上的时候，图像就会变得正常了。

所以，真正的投影矩阵应该是下面这个样子：（a代表的是屏幕的宽/高比）

至此，投影矩阵的问题也解决了。

那么，问题真的解决了吗？

答案很明显是没有，因为，我们只是计算了一个特殊情况下的投影矩阵。我们玩3D游戏的时候，总不可能一直让摄像机在原点不动吧？

真那样的话，还玩个啥？

解决方法其实也很简单：我们把世界坐标系的原点移动到相机身上，然后，让这个坐标系的z轴朝着摄像机的方向不就行了吗？

没错，就是这样的解决方法。相当于，把虚拟3D世界的所有物体再次旋转、移动一次，保证摄像机在零点并朝向z轴就行了。

这个过程是不是很熟悉？没错，就是上面的旋转和平移操作，也是可以解出一个4×4矩阵来的。

而这个操作，被称为相机变换，也就是世界坐标到相机坐标的变换。相机变换矩阵最麻烦的地方就在于旋转了，而其中的关键，就在于相机模型的建立。这里，早期的那些披着程序员外衣的数学家们又开始了建模。通过不断地探索和思考，“数学家”们创建了2个可行的相机模型：

①欧拉相机模型；

②UVN相机模型。

什么是欧拉相机模式呢？就是通过欧拉角的启发来定义的相机模型。欧拉角有3个角度，分别定义了三维坐标系中某个点绕着3个轴的旋转角度，我们只要知道这3个角度，就能通过计算得到目标点的具置。

有了欧拉角的摄像机，就能通过欧拉角的分量来进行世界坐标的旋转了。具体来说，欧拉相机模型有4个参数，分别是相机的位置和相机的3个欧拉角度。

但是，欧拉相机模型在实践中不是很好用。这个相机模型用的是角度，我们需要重新定义变量，在编程的时候并不是特别方便，而且在转化的时候也需要一定的计算量。

游戏的实时性那么高，披着程序员外衣的数学家们怎么可能甘心呢？

于是，这些数学家在欧拉相机模型的基础上改进得到了一个新的相机模型——UVN相机模型。

从数学本质上来看，两者的区别不大，欧拉模型用的是角度，而UVN模型用的是向量，而向量更适合矩阵计算，所以，现在大部分3D引擎的相机模型都是UVN相机模型。

那么，UVN是什么意思呢？其实很简单，它就是一个相机坐标系而已。相机坐标变换的意义在于，要把玩家或者用户从虚拟世界转移到相机世界中，所有的虚拟物体都要以相机为基准重新定义一次。

想一想这个过程：最开始的时候，我们的主角是虚拟3D物体本身，关于三角形和顶点的构建都是基于3D物体的本地坐标系的；所有3D物体准备好之后，必须在虚拟3D世界中安排、组织好，虚拟3的世界成了主角，所以有了世界坐标系，从本地坐标到世界坐标的变换就是世界坐标变换；同理，现在的主角是虚拟摄像机，而从世界坐标到相机坐标的变换就是相机坐标变换。相机坐标系是什么样子的呢？我们用的是左手系，那么，虚拟摄像机用的也是左手系。以虚拟摄像机的位置为原点，右方向、上方向、前方向为正方向，这样的三维正交坐标系就是相机坐标系。和左手系的XYZ坐标系一样，坐标轴有个名字：相机右方向是U轴，相机上方向是V轴，相机前方向是N轴。明白了吧？UVN的相机模型，其实就是一个相机坐标系。

这样的坐标系主要有3方面的好处：

①设置起来很方便；

②程序员理解起来也简单；

③坐标变换的矩阵也容易推导。

为什么设置起来方便呢？我们只需要4个向量就能描述这个摄像机了，分别是位置向量、右向量、上向量和目标向量，也就是说，4个不同意义的参数，数据格式是一样的！你说，是不是很方便？

那么，程序员理解起来为什么简单呢？因为，这样的相机坐标系可以理解成一架灵活的战斗机，虚拟摄像机的移动和旋转完全可以理解成战斗机的移动和旋转。把虚拟摄像机理解成一架战斗机，现在，战斗机悬停在虚拟3D世界中的某个位置上，战斗机有哪些操作呢？

①战斗机可以沿着N轴方向移动，这个操作被称为移动（move）；

②战斗机可以沿着V轴方向移动，这个操作被称为飞行（fly）；

③战斗机可以沿着U轴方向移动，这个操作被称为平移（strafe）；

④战斗机可以改变飞行的方向，也就是自身绕着V轴旋转，这里有一个专有名词叫做偏航（yaw）；

⑤战斗机可以向上方飞跃，也能向下方俯冲，相当于是点头的操作，也有一个专有名词叫做倾斜（pitch）；

⑥战斗机可以绕着N轴一直旋转，是一种很酷的飞行方式，这个专有名词叫做滚转（roll）。

根据这6个名词，程序员就很容易理解虚拟摄像机的移动和旋转了，也能通过战斗机的比喻来彻底记住这个过程。

最后，是变换矩阵比较容易推导。坐标变换的目的是把xyz坐标系中的点p变换到uvn坐标系中的点p’。坐标要如何变换呢？方法与世界坐标变换类似——先旋转后平移。点p是xyz坐标系的，现在先不管虚拟摄像机的位置，把uvn坐标系和xyz坐标系的原点重合，你发现了什么？没错，p’点相当于是xyz坐标系在uvn坐标系上的投影！而投影的计算非常简单，靠着向量的点积就能解决。也就是说，点p在xyz坐标系中的向量OP分别乘以uvn的单位向量，就能得到p’点在uvn坐标系上的分量值。比如，点p的向量是p，uvn的单位向量分别是u、v、n，那么p’点的坐标就是（p·u，p·v，p·n）。为了和世界坐标变换矩阵一样，我们的点也需要是4维的，所以，p’点的正确坐标应该是：（p·u，p·v，p·n，1）。我们可以把这个过程转变成矩阵相乘的过程，就可以得到如下的旋转矩阵：

其中的xyz分别代表的是单位向量在UVN坐标系中的分量大小。

旋转矩阵已经有了，接下来就是平移矩阵。上面已经推导过平移矩阵了，我们可以直接用。假设虚拟摄像机在世界坐标的位置向量是Pos，由于我们已经把UVN坐标系移动到了原点，所以，这个位置的移动是负的，也就是说，在UVN坐标系中，所有物体都应该平移-Pos的距离（注意负号）。

根据前面的平移矩阵，我们很容易写出这个四维的平移矩阵：

然后，我们只需要把旋转矩阵和平移矩阵相乘，就能得到UVN相机模型的相机变换矩阵了：

矩阵最后一行是相机位置向量和单位向量的点乘，最后的结果是一个数值，记得有个负号。

最后，要使用这一系列矩阵的时候，按照旋转矩阵×平移矩阵×缩放矩阵×相机矩阵×投影矩阵的过程先计算好一个总体的变换矩阵，然后，直接用原始的坐标乘以这个变换矩阵就OK了！当然，别忘了最后要用w坐标来一次齐次计算。好了，关于矩阵在计算机3D图形处理方面的应用介绍就说完了。我想，你应该能明白矩阵的用处了吧？

作者：大舍大德

链接：

/d/file/gt/2023-09/biyyqn51drl A.Horn与Charles R.Johnson著的《矩阵分析》第二版（《Matrix Analysis》Second Edition）这本书中，有下面的描述：

下面分析：

①“典型的基础域是实数或者复数，不过它也可以是有理数，以一个特殊的素数为模的整数，或者是另外的域”

对于域来讲，实数、复数、有理数、……都是并列的取值环境，和数的分类，和数之间的隶属没有关系。

所以才有了另外一个域的举例，“以一个特殊的素数为模的整数”，英文原版是“the integers modulo a specified prime number”。

这句话可以这样理解为， “modulo”是按…模进行计算的意思，“the integers”就是一类整数（也许应该称为余数），这类整数是，某个整数集以一个指定的素数为模数进行模运算而得到，而且是有限的，永远不会超过该模数，比如集合{4,2,6,10,5,8,24,30,21},如果以7（素数）为模数进行模运算，得到是集合{4,2,6,3,5,1,0}，但是如果以8（偶数）为模数进行模运算得到是集合{4,2,6,5,1,0},虽然8比7大，但是，反而没有素数7得到更加全面而且均匀的余数集合。

话再说回来。

域和纯量最重要的区别在于：

域也是一个集合，但是，它的元素“必须关于二元运算‘加法’和‘乘法’是封闭的”。

比如，实数就是一个域，两个实数相加是实数，两个实数相乘也是实数。

另外，在域中：

②“该集合中每一运算都需要一个单位元”

这里的“单位元”，是这样一种单位元，它其实也是集合中的一个元素，而这个元素必须满足这种条件：就是集合中的任意一个元素（比如用字母a来表示），与单位元（这个特殊元素）经过（“加法”或“乘法”）运算后，还是会等于该元素本身a，那么满足这种条件的元素，就是域中，对应于该运算的单位元。

所以，举例来说，在实数域中，对“+”运算来说：

对于任何一个实数a加上0，都会等于实数a自己，那么，元素0就是实数域上“+”运算的单位元。

而数a在“+”运算上的逆元就是，有这样一个元素，它和a经过“+”运算，会等于“+”运算的单位元0，也就是：

这就产生了数a的逆元b，就是“+”运算下数a的逆元，对于b也是如此。

同理，对于“X”运算：

在实数域内，和数a经过“X”运算后还等于数a的元素就是1，那么1就是实数域上“X”运算的单位元。

那么，同样，上图中数b就是数a在“X”运算下的逆元，对b也是如此。

所以，单位元的定义一定在域内，而且是和某种运算紧密联系的。

另外，注意，为什么在这里，运算用符号代替，而没有直接说“加法”或者“乘法”，这是因为，在数学里，运算是定义出来的，不仅仅是，习惯上我们通常所理解的“加法”或者“乘法”，下面还会讲到。

上面，这就是域的大致概念。

向量空间

向量空间也是一类集合，它的元素是向量，这个向量的产生依托于某个域，重点是：

1、向量空间元素是向量。

2、向量空间在某个域上产生，不仅仅是一个简单的元素聚集。

对于向量元素来说，[2, 3.1, 4, 5.2, 11]是以实数域为基础形成的数组向量元素，那么函数sin(x)也是向量元素，其中x可以为任意实数，2x^5也是，向量元素不能局限于通常看到的数组向量[3, 5, 1]、[0, 1, 0, 1]等。

构成向量空间元素的基础是域，这就要求我们理解向量空间，不能仅仅看到它为简单的向量元素集合，还必须满足，域的一些特点，这就包括域上运算的闭合关系。

所以，我们才经常说“域F上的一个向量空间”。

正是因为域有特殊的运算特性要求，在此基础上，也形成了向量空间的运算规则。

首先，向量空间里面的元素可以相加，向量相加的基础依托于域元素的相加规则。

《矩阵分析》第二版（《Matrix Analysis》Second Edition）中：

③可以看出，作者在这里，是举了一个例子，某种向量集合中的向量元素（n维的），逐个相加可以构成一个向量空间。当然，这个加法也会根据你的域运算中加法定义的不同，而有所不同。

④“实系数或者复系数多项式的集合……”

在实数三维向量空间中，对于数组向量i=[1,0,0]、j=[0,1,0]、k=[0,0,1],显然对于某个向量a=[3,2,4]=3*i+2*j+4*k，当然，在该空间中，其他任何一个向量，都可以由它们线性相加而构成。

同样，在多项式向量空间中，向量5+2x+3x^2就是向量1、x、x^2所组成的，对于维度1和x来说，它们是绝对不能互相替换的，就像i、j、k之间不能互相替换一样，它们不是一个维度的，同样x和x^2也不是一个维度的，所以向量5+2x+3x^2=5*1+2*x+3*x^2。就是由其他向量线性相加组成的，对于函数集合也是如此(比如sin(2x))。

在此，就要深入理解域和向量的意思，同样，这也就是为什么向量空间变得更加抽象了。

在向量空间的定义中，并没有完全使用域中的乘法运算，它只使用了在此基础上形成的数乘，这是向量空间定义中的一个重要特点，下面，会有明确的叙述。

好了，说了这么多，下面就给出，具体的向量空间定义：

这个概念在《工程数学-线性代数》（同济大学数学系编第六版）就有一个很清晰的说明：

域上满足这八条运算规律的向量集合，就是某个域上的线性空间。

而这种由八条运算规律定义的运算就是线性运算。

敲黑板的第一条：

向量空间是建立在域上，域上 “加法”和“乘法”的封闭性，在向量空间里有天然的继承性，向量元素在定义规则下的运算也是封闭的。

敲黑板的第二条：

向量空间的定义中，对于向量元素之间的加法，会存在一个加法单位元0，前面说过，单位元也是集合中的一个元素，只是一个特殊元素而已，所以在向量空间里，单位元0在这里也是向量空间的元素，它是0向量，它存在于任何一个向量空间中，记住“是任何一个”，这是第三条规则定义所明确的。

敲黑板的第三条：

在满足敲黑板第一条的基础上，必须满足“八大纪律”，就可以成为向量空间，但是向量的运算定义可以更抽象化。

《工程数学-线性代数》（同济大学数学系编第六版）中明确地说明了：

第一、向量不一定是有序的数组，就如刚才说过的多项式和函数等等。

第二、向量之间的运算也不一定是就是我们在实数域中，经常理解的那种加法和乘法运算，运算的定义只要满足“八条”运算规律就可以。比如下面：

上图定义了另外一种乘法运算，这里用到了其中的数乘。

所以，对于同一个元素向量集合，若定义了两种不同的线性运算，就会构成两种不同的向量空间，同时，若定义的运算不是线性运算，也不能构成向量空间，什么是线性运算，就是那个“八项工作纪律”。

总结来说：

向量空间是一个集合，一大堆向量的集合，它里面的元素是向量；

是定义在某个域上的向量，因为集合中元素是建立在域上的，所以向量元素之间运算，不能跳出“九界之外”，这是封闭性；

运算规则可以被各种定义，但是，运算规则必须满足 “八项工作纪律”（线性运算），这样的集合就是向量空间。

所以，线性运算是向量空间的本质，而其中的向量元素，可以定义为任何向量元素（可以不断地推广和扩大）。

因此，把向量空间叫做线性空间，也许更为合适，以后如果遇到线性空间或者向量空间的叫法，它们其实说的就是一件事，我们这里还继续延用向量空间的叫法。

好的，下一篇我接着理解——向量子空间及其他。