为什么平行公理问题是欧氏几何的“家丑”？数学思考录（二）

达兰贝尔为什么称平行公理问题是“几何原理中的家丑”？数学家又为何一直尝试用其它公理证明平行公理，却一千多年未解。直到19世纪，非欧几何又是怎样证明在欧几里得空间内平行公理既不能被证明亦不能被证伪的呢？

达兰贝尔

每个时代都有其神话，并称之为至高的真理。

十九世纪之前的时代，数学家们一直视数学为真理。在所有的数学分支中，欧几里得几何最受人推崇，因为它是第一个用演绎方法建立的理论，两千多年来，它的定理一直“完美地”与客观事实一致。

欧几里得

在任何特定的理论中，只有其中包含数学的部分才是真正的科学。——康德

哲学家康德说，经验是知识的必然因素，而数学就是精神的必然法则。几何学的科学性揭示了真理的逻辑，说明了经验与公理的一致性。数学家高斯也坚持相信物理空间的几何必然是欧氏几何，对此几乎所有的人都深信不疑。

康德

关于那个时代，康托尔曾这样评述：一旦错误的结论被广泛接受，那么它将不会轻易地被放弃，而且对它懂得越少，则它的地位越牢固。数学家克莱因批判康德说，他在几何上的轻率超过他在哲学上的大胆。

而这个时代的变动开始于“平行公理”，一个令数学家痛苦的命题。

康托尔

1、任意两个点可以通过一条直线连接。

2、任意线段能无限延长成一条直线。

3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

4、所有直角都全等。

5、如果一条直线与两条直线相交，使得一侧的内角不都是直角，则将这两条直线延长，它们在内角不都是直角的直线一侧相交。即若∠1+∠2<180°，将a，b充分延长，它们必定相交。

欧氏几何中的第五公理，一直在困惑着数学家们，不是由于它的正确性，而是由于它的表达方式。第五公理缺少了其他公理的简洁性，令人不知所措，欧几里得本人也不喜欢，直到所有不经过它的定理都被证明出来之后，欧几里得才不得以提出来。

在数论和其他任何比较完善的数学理论中，所谓的公理都是解释性的，而非基础性的。——哥德尔

哥德尔

公理的实质在于符合经验而并非其不证自明——克吕格尔

第五公理又称为“平行公理”，为了避免公理的冗长，数学家们做了两种不同类型的尝试，一种是用更加自明的命题来代替平行公理。另一种是试图从欧几里得的其他公理中推导出平行公理，将其变为定理，使其不容置疑。

最为人知晓的替代公理是，普莱费尔提出的平行公理的说法：给定一条直线，通过此直线外的任何一点P，有且只有一条直线与之平行。另外还有“三角形内角和为两直角”、“存在两个相似但不全等的三角形”、“所有三角形都有外接圆”、“存在一对等距的直线”等等。所有的替代公理似乎都比欧几里得的要简单，但进一步研究证明，它们并不比欧几里得的叙述更令人满意。

在尝试用其他公理推出平行公理的努力中，最有意义的是萨谢利的工作。他提出了各种假设，首先假定过P点没有与l平行的直线，则由此公理和欧几里得其他公理，萨谢利认为可以推出矛盾。接着又假设过P点至少有2条直线p和q，不管如何延伸总不与l相交，然后他得到一个奇怪的结论，于是萨谢利认为这也是矛盾的。由此萨谢利得出结论：平行公理是其他公理的推论。其实后来的数学家发现其中并没有真正的矛盾，因此平行公理的问题依然存在。

萨谢利

平行公理问题的徒劳无功，让数学家们终于意识到欧几里得的平行公理中的深刻意义。

任何较大的数学成果，都不会只是个人的工作。充其量，某些决定性步骤或证明可以归功于个人。——克莱因

渐渐地数学家们终于意识到平行公理不能由其它公理推出，平行公理是建立欧氏几何所必需的条件。既然平行公理是独立的，逻辑上讲，可以假设一个与此矛盾的命题，从而作为新的公理，是不是可以导出新的几何？

克莱因

数学家罗巴切夫斯基是第一个真正意义上放弃欧几里得平行公理的人，他提出了自己的假设：给定一条直线，通过此直线外的P点允许有无限多条平行线。

若角A等于90°则得到欧几里得的平行公理；

若A为锐角，随着距离a趋于0，则角A增大趋于90°，当a趋于无穷大，则角A减小且趋于0°。于是，三角形的内角和总是小于180°，且随着三角形面积的减小而趋近于180°，且两个相似三角形必定全等。

罗巴切夫斯基建立的非欧几何——罗氏几何，就是所谓的双曲几何。

罗巴切夫斯基

当我们由之开始的定义不再有意义的时候，我们就不应当再问它是什么，而应该问，如何做出合适的假设，使它继续有意义。——高斯

紧接着是数学家黎曼，作为高斯的学生，他提出了与欧氏几何根本不同的假设：给定一条直线，通过此直线外的P点没有平行线，任何两条直线相交于两点，三角形内角之和大于180°。

黎曼

黎曼提出的关于空间可以是无界的而不是无限的非欧几何——黎曼几何，就是现在的双椭圆几何。

高斯

自1826年非欧几何诞生至1868年，罗氏几何和黎曼几何经过了数十年漫长的争论，其几何真理性内容才慢慢被人们接受，期间值得一提的是1855年——著名数学家高斯与世长辞。寻求真理迟迟到来的原因，并不是因为支持非欧几何的论据加强了，而是正如量子之父普朗克所言：一个新的科学真理并不是靠说服它的对手而取胜，而是由于它的对手死了，新一代熟悉它的人成长了起来。

普朗克

一个时代或许本没有真理，只不过是相信的人多了，才有了真理。至此，平行公理问题才刚刚起步，非欧几何的完备性与相容性问题将引领下一个时代的到来。

欧式几何：三维空间与相对论的四维空间

欧式几何的三维空间与相对论的四维空间之间(也就是所有可能事件的集合)进行类比。首先定义一个量s²，把它称为在s(地球)参照系原点的一个事件与一个有时间和空间坐标(t，x，y，z)的事件之间的间距，用等式表达为:s²=x²+y²+z²-(ct)²=r²-(ct)²，我们把y和z加进来，顺便拿他们来用勾股定理的三维推广式x²+y²+z²=r²，来重新建立一个事件自原点到空间距离r的方程式。

在洛伦兹变换中，r²-(ct²)=r'²-(ct')²。这个间距和在飞船参照系中用坐标标示的形式是一样的。基于这个特性，s²被称为不变间距。这个不变的量就像光速c一样，在所有的惯性参照系中都是一样的。运用洛伦兹变换方程组，把S(地球)转化S'(飞船)，让两个坐标系中的坐标相互关联，就得到s²是一个不变量。

从纯空间几何学的角度看，不探索对一个运动的参照系进行转换，而要讨论通过坐标轴的旋转，同时让坐标轴保持相互垂直，而得到一个新的空间坐标系的转换。例如，在二维中，我们可以把一张纸的两个对角之间的连线作为新坐标轴，而不是水平或垂直的坐标轴。我们先把这些新的二维空间坐标轴设为x'和y'[这是一组带撇的新坐标轴，与s'(飞船)的参照系无关，它是通过旋转变换得到的]。

点P在带撇和不带撇的坐标系中坐标值虽然不一样，但是x²+y²则是相等的。它们都等于r²，r是点p到原点的距离，我们选择使用的旋转坐标系，r在旋转后是一个不变量。简而言之，我们可以说线段的长度存在于平面上，而这个平面独立于我们所用的任何坐标系，总之我们可以先在纸上画出这条线段，然后再加上这些坐标系。

我们可以认为s是一个事件在时空中迄自原点的某种距离，就像r是空间中的一点与空间原点之间的距离一样。在一般的空间里，距离是正值，但在时空中的距离却可以是正值、负值或者是零。在三维坐标中，r²=x²+y²+z²就总为正值(或是0)。而在模拟的四维时空中，间隔s²=r²-(ct)²，除了r²以外还包括另一段，而且包含t项的符号与空间的项不同，这个负号很重要，再一次验证了在狭义相对论中，时间和空间的关系比牛顿力学更紧密。而且时间和空间在物理学上是不等价的，尤其是与r²相反，不变间距s²可是正值、负值和0！例在空间原点发生一个事件，在r=0时，它唯一的非零坐标是t，s²=-(ct)²，s²为负值。而与原点相关的光信号所发生的事件r²-(ct)²=0，s²=0。